Materi Ajar Interaktif Polinomial - LBB Kelas Pintar Orion

Pengertian & Bentuk Umum Polinomial

**Polinomial (suku banyak)** dalam variabel $x$ berderajat $n$ adalah ekspresi aljabar yang dapat dituliskan dalam bentuk standar berikut:

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_1 x + a_0$$

Derajat ($n$)

Pangkat tertinggi variabel $x$ dengan koefisien tidak nol ($a_n \neq 0$).

Suku Utama

Suku dengan pangkat tertinggi, yaitu $a_n x^n$.

Koefisien

Nilai konstanta pengali $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0 \in \mathbb{R}$.

Suku Konstan ($a_0$)

Suku bebas tanpa variabel $x$ (pangkat nol).

Contoh Analisis Polinomial

Diberikan polinomial: $P(x) = 5x^4 - 3x^3 + 7x - 12$

**Derajat**: $4$ (karena pangkat terbesar adalah 4)
**Koefisien $x^4$**: $5$, **Koefisien $x^3$**: $-3$, **Koefisien $x^2$**: $0$, **Koefisien $x$**: $7$
**Suku Konstan**: $-12$

Operasi Aljabar Pada Polinomial

1. Penjumlahan & Pengurangan

Dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan koefisien dari suku-suku yang **sejenis** (memiliki variabel dan pangkat yang sama).

Contoh: (3x³ - 2x + 5) + (x³ + 4x² - 3) = (3+1)x³ + 4x² - 2x + (5-3) = 4x³ + 4x² - 2x + 2

2. Perkalian Polinomial

Menggunakan sifat distributif aljabar. Pangkat dari variabel yang sama akan dijumlahkan: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Contoh: (2x + 3)(x² - 4) = 2x(x² - 4) + 3(x² - 4) = 2x³ - 8x + 3x² - 12 = 2x³ + 3x² - 8x - 12

3. Kesamaan Polinomial ($P(x) \equiv Q(x)$)

Dua polinomial dikatakan sama bersyarat jika koefisien suku-suku berderajat sama pada kedua ruas bernilai **sama persis**.

Sifat: Jika $a_n x^n + \dots + a_0 \equiv b_n x^n + \dots + b_0$, maka $a_n = b_n, a_{n-1} = b_{n-1}, \dots, a_0 = b_0$.

Pembagian Polinomial & Skema Horner

Secara umum, pembagian polinomial $F(x)$ oleh pembagi $P(x)$ menghasilkan hasil bagi $H(x)$ dan sisa pembagian $S(x)$:

F(x) = P(x) · H(x) + S(x)

1 Cara Bersusun (Porogapit)

Mirip pembagian bilangan biasa. Bagilah suku berderajat tertinggi dari dividen dengan suku berderajat tertinggi dari pembagi secara bertahap.

2 Skema / Metode Horner (Sangat Efisien)

Menuliskan koefisien polinomial berdasarkan urutan pangkat menurun (pangkat yang absen diberi koefisien 0).

Demo Simulator Horner

Interaktif

Soal Demo: Bagilah $F(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ dengan $(x - 2)$. Pembagi $k = 2$.

k = 2	x³ (2)	x² (-3)	x¹ (4)	x⁰ (-5)
+	*	4	2	12
Hasil	2	1	6	Sisa = 7

Hasil Bagi: $H(x) = 2x^2 + x + 6$, Sisa Pembagian: $S = 7$.

Teorema Sisa & Teorema Faktor

Teorema 1

Teorema Sisa

Jika polinomial $F(x)$ dibagi oleh $(x - k)$, maka sisa pembagiannya adalah:

Sisa = F(k)

Jika pembaginya berbentuk $(ax + b)$, maka sisa pembagiannya adalah $S = F(-\frac{b}{a})$.

Teorema 2

Teorema Faktor

Dampak langsung dari teorema sisa: Suatu bentuk $(x - k)$ merupakan **faktor** dari $F(x)$ jika dan hanya jika:

F(k) = 0

Artinya, pembagian berlangsung tanpa sisa (sisa nol).

Persamaan & Teorema Vieta

Teorema Vieta memberikan hubungan langsung antara koefisien-koefisien persamaan polinomial dengan jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

1. Polinomial Derajat 3 (Kubik): $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

Jumlah Akar $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$

Jumlah Hasil Kali Pasangan $x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_1 x_3 = \frac{c}{a}$

Hasil Kali Tiga Akar $x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a}$

2. Polinomial Derajat 4 (Kuartik): $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$

Jumlah Seluruh Akar $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}$

Hasil Kali Seluruh Akar $x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{e}{a}$

POLINOMIAL (Suku Banyak)

Eksplorasi Dunia Polinomial Secara Visual & Interaktif

Capaian & Tujuan Pembelajaran

Mengapa Belajar Polinomial?

Tim Penyusun LBB Kelas Pintar Orion

Pengertian & Bentuk Umum Polinomial

Contoh Analisis Polinomial

Operasi Aljabar Pada Polinomial

1. Penjumlahan & Pengurangan

2. Perkalian Polinomial

3. Kesamaan Polinomial ($P(x) \equiv Q(x)$)

Pembagian Polinomial & Skema Horner

1 Cara Bersusun (Porogapit)

2 Skema / Metode Horner (Sangat Efisien)

Demo Simulator Horner

Teorema Sisa & Teorema Faktor

Teorema Sisa

Teorema Faktor

Persamaan & Teorema Vieta

1. Polinomial Derajat 3 (Kubik): $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

2. Polinomial Derajat 4 (Kuartik): $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$

Visualisator Grafik & Simulator Horner Dynamic

Kontrol Koefisien $f(x)$

Masukkan Suku Banyak & Nilai Pembagi ($k$)

LKPD Interaktif: Optimalisasi Kemasan Produk Orion

Kasus Kontekstual Industri Industri Kreatif

1 Menyusun Model Fungsi Volume Polinomial $V(x)$

2 Evaluasi Nilai Volume Polinomial

Kuis Evaluasi Polinomial